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Un mwcgquadrato, in mwcwgeometria, è un mwdaquadrilatero mwdqregolare, cioè un mwdgpoligono con quattro mwdwlati e quattro mweaangoli congruenti.

• Confronto con altre figure geometriche

• Caratteristiche principali nella geometria euclidea

• Equazione di un quadrato su un piano cartesiano

• Esistenza del quadrato

• Costruzione

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il quadrato è un caso particolare di mwfgrombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di mwfwrettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di mwgaparallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Le mwgwdiagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la mwharadice quadrata di 2:

mwhw diagonale = lato ⋅ ⋅ 2 {\displaystyle {\mbox{diagonale}}={\mbox{lato}}\cdot {\sqrt {2}}}

Questa formula si dimostra con il mwiqteorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due mwigtriangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui mwiwcateti è equivalente al quadrato costruito sull'mwjaipotenusa (che è la mwjqdiagonale).

mwka A C = A D 2 + C D 2 = l 2 + l 2 = 2 ⋅ ⋅ l 2 = 2 ⋅ ⋅ l {\displaystyle AC={\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}}={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2\cdot l^{2}}}={\sqrt {2}}\cdot l} .

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

mwla lato ⋅ ⋅ 4 {\displaystyle {\mbox{lato}}\cdot 4}

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

mwma lato 2 {\displaystyle {\mbox{lato}}^{2}}

ma si può calcolare anche come

mwna diagonale 2 2 {\displaystyle {\frac {{\mbox{diagonale}}^{2}}{2}}} per il mwnqteorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area mwnwa è il lato del quadrato con Area mwoa2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto mwowcentro del quadrato ed è centro di mwpasimmetria di mwpqrotazione e di mwpgsimmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli mwpw k π π 2 rad = k 90 ∘ ∘ per k = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3} ; naturalmente la rotazione di mwqa π π {\displaystyle \,\pi } mwqqradianti è la simmetria centrale.

Il quadrato mwra Q {\displaystyle Q} di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

mwrw Q = { ( x , y ) | | x | ≤ ≤ 1 , | y | ≤ ≤ 1 } . {\displaystyle Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|\leq 1,|y|\leq 1{\big \}}.}

Il suo bordo è quindi

mwsw ∂ ∂ Q = { ( x , y ) | | x | = 1 , | y | ≤ ≤ 1 } ∪ ∪ { ( x , y ) | | y | = 1 , | x | ≤ ≤ 1 } . {\displaystyle \partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|=1,|y|\leq 1\}\cup \{(x,y)\ |\ |y|=1,|x|\leq 1{\big \}}.}

Questo può essere anche descritto come

mwtw ∂ ∂ Q = { ( x , y ) | 0 < lim n → → ∞ ∞ x 2 n + y 2 n < ∞ ∞ } . {\displaystyle \partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ 0<\lim _{n\rightarrow \infty }x^{2n}+y^{2n}<\infty {\big \}}.} In mwuamatematica, questo quadrato rappresenta la mwuqpalla unitaria del piano rispetto alla mwugnorma uniforme.

Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: mwva Q : | a x + b y | + | b x − − a y | ≤ ≤ 1 , a ≠ ≠ 0 ∨ ∨ b ≠ ≠ 0 {\displaystyle Q:{\big |}ax+by|+|bx-ay|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}

Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate mwvg ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle {\big (}x_{0},y_{0})} l'equazione diventa:

mwwa Q : | a ( x − − x 0 ) + b ( y − − y 0 ) | + | b ( x − − x 0 ) − − a ( y − − y 0 ) | ≤ ≤ 1 {\displaystyle Q:{\big |}a(x-x_{0})+b(y-y_{0})|+|b(x-x_{0})-a(y-y_{0})|\leq 1}

da cui:

mwww Q : | a x + b y − − a x 0 − − b y 0 | + | b x − − a y − − b x 0 + a y 0 | ≤ ≤ 1 {\displaystyle Q:{\big |}ax+by-ax_{0}-by_{0}|+|bx-ay-bx_{0}+ay_{0}|\leq 1}

ovvero nella forma più generale possibile:

mwxg Q : | a x + b y + p | + | b x − − a y + q | ≤ ≤ 1 , a ≠ ≠ 0 ∨ ∨ b ≠ ≠ 0 {\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}

Il cui bordo è quindi:

mwyq Q : | a x + b y + p | + | b x − − a y + q | = 1 , a ≠ ≠ 0 ∨ ∨ b ≠ ≠ 0 {\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|=1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli mwaqElementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il mwagteorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il mwawV postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle mwbageometrie non euclidee.

Ad esempio, in mwbggeometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un mwbwangolo giro.

Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza mwcgcon riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

• mwegQuadrilatero

• mwfaQuadrato (algebra)

• mwfgTeorema delle intersezioni dimensionali

• mwgaSezioni ipercubiche ortoassiali

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «quadrato»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul quadrato

• citereftreccani-itquadrato, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaAttilio Frajese, QUADRATO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.

• citerefvocabolario-treccaniquadrato², su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itquadrato, su sapere.it, De Agostini.

• citerefbritannica-com(EN) square, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Square, su MathWorld, Wolfram Research.